Bài Tập Tích Phân Đường Loại 2 Có Lời Giải

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (Linear Algebra)Xác suất thống kêVideo bài giảngThảo luậnThảo luận về giải tíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

6.

Bạn đang xem: Bài tập tích phân đường loại 2 có lời giải

Các ví dụ:

*
Ví dụ 1: Tính

*

với AB là nửa trên đường tròn tâm I(1;0) bán kính 1 nối điểm A(2;0) với điểm B(0;0)

– Phương trình đường tròn tâm I(1;0), bán kính 1 có dạng

*

– Phương trình này có dạng tham số:

*

Do cung AB là nửa trên đường tròn nên:

– Tại A ta có:

*

tương tự: tại B ta có

*

Vậy:

*
dt \\ = \int\limits_{0}^{\pi} (-1 - cost)dt = (-t - sint)_0^{\pi} = -\pi " class="latex" />

Nhận xét:

– Với đường cong trên, nếu ta viết phương trình đường cong dạng tổng quát thì:

*

– Nếu viết phương trình tổng quát với x là hàm theo y thì ta phải chia cung AB thành 2 cung AC và CB. Vì cung AC nằm bên phải đường thẳng x = 1 nên có pt:

*
còn cung CB nằm bên trái đường thẳng x = 1 nên có pt:
*

– Việc tính tích phân bằng 2 cách trên sẽ phức tạp hơn so với việc cách viết pt đưo2ng cong tham số.

*
Ví dụ 2: Tính

*

trong đó L là:

a. đoạn thẳng nối hai điểm O(0;0) và A(1;1)

b. cung parabol

*
nối 2 điểm đó.

c. L là chu vi tam giác OAB lấy theo hướng dương.

Giải

a. Phương trình đoạn thẳng nối hai điểm O(0;0) và A(1;1) là y = x.

Xem thêm: Distilled Water Là Gì - Distilled Water Trong Tiếng Tiếng Việt

Tại O ta có:
*
, tại A:
*

Khi đó: dy = dx. Ta có:

*
dx = \left( x^2 + \dfrac{x^3}{3} \right)_0^1 = \dfrac{4}{3} " class="latex" />

b. OA là cung parabol

*
nối O(0;0) và A(1;1) nên dy = 2xdx. Do đó:

*
dx = \int\limits_0^1 (x + x^2 + 2x^4) dx \\ = \left( \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{5} \right)_0^1 = \dfrac{37}{30} " class="latex" />

Nhận xét: – Với 2 hàm P, Q như trên, ta thấy tích phân đường ngoài việc phụ thuộc điểm đầu, điểm cuối. Kết quả còn phụ thuộc đường cong lấy tích phân.

c. Do L là đường cong kín lấy theo hướng dương nên ta xét đường gấp khúc OBAO. Do đường gấp khúc này gồm 3 đoạn OB, BA, AO có phương trình khác nhau.

Nên:

*

Khi đó:

– Trên cung OB ta có:

*

Do đó:

*

– Trên cung BA ta có:

*

Nên:

*

– Trên cung AO: đoạn thẳng y = x nối điểm A(1;1) với O(0;0) đây là đoạn thẳng ngược hướng với đoạn thẳng OA nên: