Chứng minh lim sinx/x=1

Giả sử rằng chúng ta vẫn biết định nghĩa mặt đường tròn đơn vị với một vài tính chất của góc lượng giác cùng cạnh vào mặt đường tròn đơn vị chức năng, bài bác toán này đề nghị thêm định hướng của giới hạn kẹp nữa.

Bạn đang xem: Chứng minh lim sinx/x=1

Thứ nhất, chúng ta nên tìm hiểu một ít về số lượng giới hạn kẹp.

Giả sử ta gồm một số $b$ bị kẹp giữa hai số $a$ và $c$ nhỏng sau,

$$a leq b leq c$$

Nếu $a$ cùng $c$ thuộc bởi một số $ extL$ nào kia, bởi vì $b$ bị kẹp giữa $a$ và $c$ buộc phải ta có thể suy ra được $b$ cũng bằng $ extL$, vấn đề này là hoàn toàn hợp tình hợp lý.

Giả sử $b = lim_x o lớn 0 fracsin xx$, ta quan yếu tính thẳng $b$ lúc $x o 0$ được, ta đề xuất tìm ra hai giới hạn $a$ và $c$ để kẹp số lượng giới hạn $fracsin xx$ lại, rồi kế tiếp đi tính $a$ cùng $c$, đó là ý tưởng của bài xích toán thù này, có tác dụng cố gắng làm sao nhằm kiếm tìm $a$ cùng $c$, ta đang buộc phải phụ thuộc vào tính chất của các góc lượng giác với cạnh vào con đường tròn đơn vị.

Tại sao buộc phải phụ thuộc vào chúng? Bởi bởi họ vẫn tất cả phương pháp contact thân góc lượng giác và cạnh trong đường tròn đơn vị, ta chỉ việc đưa ra mối quan hệ giữa bọn chúng, rồi sau đó rất có thể áp dụng định lý kẹp.

Xem thêm: Icá - Pubg Mobile Cheats

*

Thứ nhất mình đã đi tìm kiếm quan hệ giữa bọn chúng trước, quan sát bởi mắt thường vào hình sinh hoạt bên trên, ta nhận thấy rằng đâu đó diện tích S tam giác $ extOAC$ có vẻ nhỏng nhỏ rộng diện tích đường cung $stackrelfrown extOAC$, và ăn mặc tích con đường cung $stackrelfrown extOAC$ lại bé dại hơn diện tích tam giác quanh đó $ extOBC$, nghĩ thầm ta hoàn toàn có thể vận dụng được định lý kẹp tại phần này, câu hỏi sót lại là cố gắng đưa nó về bí quyết góc lượng giác thử coi.

Gọi $ heta$ (sửa chữa mang đến $x$) là góc được chế tạo vị nửa đường kính đường tròn $ extOA$ và $ extOC$, ta có:

$$sin heta = frac extđối exthuyền = frac extAD extOA Rightarrow extAD = sin heta cdot extOA$$

Mà trong con đường tròn đơn vị, độ lâu năm bán kính luôn luôn bằng $1$, Có nghĩa là $ extOA = extOC = 1$, vậy:

$$ extAD = sin heta cdot 1 = sin heta$$

lúc nói $ heta$ tiến tới $0$, có nghĩa là $ heta$ rất có thể tiến tự số dương (vùng I) về $0$, cũng rất có thể tiến tự số âm (vùng IV) về $0$, vậy để bảo đảm độ nhiều năm $ extAD$ luôn luôn đúng, ta đề xuất thêm vết quý giá tuyệt đối hoàn hảo,

$$ extAD = |sin heta|$$

Có độ lâu năm đoạn $ extAD$, ta có thể tính diện tích S tam giác $ extOAC$ bằng,

$$S_ extOAC = frac12 cdot extAD cdot extOC = frac12 cdot |sin heta| cdot 1 = frac2$$

Tiếp theo, ta bắt buộc tính diện tích S cung tròn $stackrelfrown extOAC$ (cung có mặt đường color vàng), ta hiểu được cả một hình trụ đơn vị sẽ có thông số góc là $2 pi$ radian và tất cả diện tích là $1 pi$ radian, vậy một phần nhỏ của hình tròn (có nghĩa là cung $stackrelfrown extOAC$) sẽ được tính bằng cách rước thông số góc của cung $stackrelfrown extOAC$ phân tách cho tất cả hệ số góc của hình tròn trụ tiếp đến nhân với diện tích của chính nó đúng không nhỉ như thế nào.

$$S_stackrelfrown extOAC = frac heta2 pi cdot pi = frac heta2$$

Tương từ cùng với lí vì như trên, ta rất cần được thêm quý hiếm tuyệt đối hoàn hảo vào $ heta$,

$$S_stackrelfrown extOAC = frac2$$

Tiếp theo, tính diện tích của tam giác $ extOBC$, ta yêu cầu tính độ nhiều năm cạnh $BC$ với,

$$chảy heta = frac extđối extkề = frac extBC extOC Rightarrow extBC = ung heta cdot extOC = an heta cdot 1 = chảy heta$$

Suy ra diện tích S tam giác $ extOBC$ bằng:

$$S_ extOBC = frac12 cdot extOC cdot extBC = frac12 cdot 1 cdot chảy heta = frac ã heta2$$

Tương từ cùng với lí bởi nlỗi bên trên, ta cần được thêm quý hiếm tuyệt vời và hoàn hảo nhất vào $ ã heta$,

$$S_ extOBC = frac an heta2$$

Dựa vào hình bên trên, ta có thể chỉ dẫn một bất đẳng thức xác định rằng diện tích S tam giác $ extOAC$ luôn bé dại hơn diện tích S đường cung $stackrelfrown extOAC$ với luôn luôn bé dại hơn diện tích S tam giác $ extOBC$, tuyệt,

$$S_ extOAC leq S_stackrelfrown extOAC leq S_ extOBC$$

Thế những tác dụng tính diện tích S vào, ta bao gồm,

$$fracsin heta2 leq frac2 leq fracchảy heta2$$

Bây giờ có tác dụng vắt nào để biểu thức trọng tâm trở thành $fracsin heta heta$ nhằm vận dụng định lý kẹp thì thừa tuyệt đối, đó là điều họ ước muốn. Trước hết, nhân từng biểu thức trong bất đẳng thức mang lại $2$ với mục đích để khử số $2$ đi, ta được,

$$|sin heta| leq | heta| leq |chảy heta|$$

Knhị triển $|chảy heta|$, ta bao gồm,

$$|sin heta| leq | heta| leq fraccos heta$$

Tiếp tục phân chia từng biểu thức vào bất đẳng thức mang đến $|sin heta|$, ta được,

$$frac leq frac leq fracleft( frac ight)sin heta$$

Rút ít gọn gàng một tẹo,

$$1 leq frac leq frac1$$

Thực hiện hòn đảo ngược tử số cùng mẫu mã số của từng biểu thức vào bất đẳng thức, khi hòn đảo ngược, vết của bất đẳng thức vẫn biến hóa,

$$1 geq fracsin heta heta geq |cos heta|$$

Bây giờ đồng hồ xét dấu của giá trị tuyệt vời nhất,

Đối cùng với biểu thức $frac heta$, Lúc $ heta$ tiến từ bỏ vùng dương (vùng I) về $0$, kết quả chắc chắn rằng vẫn dương, Khi $ heta$ tiến trường đoản cú vùng âm (vùng IV) về $0$, công dụng đã bởi $frac-sin heta- heta$ chắc chắn cũng trở nên dương.

Đối cùng với biểu thức $|cos heta|$, lúc $ heta$ tiến về $0$ là các quý giá nằm trên trục $Ox$, Có nghĩa là đoạn trực tiếp $ extOC$, cho nên vì vậy hiệu quả $cos heta$ luôn luôn luôn dương.

Xem thêm: O/F Là Gì Trong Tiếng Anh? Thuật Ngữ Trong Logistics Và Vận Tải Quốc Tế

Vậy, ta hoàn toàn có thể bỏ dấu quý giá tuyệt đối hoàn hảo đi,

$$1 geq fracsin heta heta geq cos heta$$

Lưu ý, biểu thức trên chỉ đúng trong những miền giá trị từ bỏ $fracpi2$ mang đến $frac-pi2$, Có nghĩa là trong vùng I và vùng IV của mặt đường tròn đơn vị, chính vì $ heta$ tiến cho tới $0$ vì vậy nó chỉ bên trong 2 vùng này, họ ko đề nghị xét thêm hai vùng sót lại cơ.

Bây tiếng, đã đến lúc thêm số lượng giới hạn vào những biểu thức nhỏ trong bất đẳng thức bên trên,

$$lim_ heta lớn 0 1 geq lim_ heta lớn 0 fracsin heta heta geq lim_ heta o 0 cos heta$$

Ta tất cả,

$lim_ heta o 0 1 = 1$$lim_ heta o 0 cos heta = cos 0 = 1$

Đã cho thời gian sử dụng định lý giới hạn kẹp, bởi vì $lim_ heta khổng lồ 0 fracsin heta heta$ bị kẹp thân hai giới hạn $lim_ heta o lớn 0 1$ với $lim_ heta lớn 0 cos heta$, mà bọn họ vẫn tính được công dụng ở 2 giới hạn kẹp thuộc đều bởi $1$, do đó giới hạn trung tâm chắc hẳn rằng cũng sẽ bằng $1$,