Ma trận nghịch đảo là gì

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPmùi hương pháp Tân oán Lý (PT Đạo hàm riêng rẽ cùng PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Khái niệm ma trận nghịch đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cấp n được gọi là ma trận đơn vị chức năng nếu như A.I = I.A = A, với tất cả ma trận vuông A cung cấp n

Ta nhận thấy ma trận bên trên là mãi mãi. Thật vậy, ma trận thỏa điều kiện trên bao gồm dạng sau:


*

Ma trận đơn vị cung cấp n


Trong khi, ma trận đơn vị chức năng là duy nhất. Thật vậy, đưa sử gồm nhì ma trận đơn vị chức năng I và I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị chức năng buộc phải I.I’ = I’.I = I’

và I’ là ma trận đơn vị cần I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là một trong ma trận vuông cấp n bên trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, ví như vĩnh cửu một ma trận B vuông cấp n trên K sao cho: A.B = B.A = In. Khi đó, B được hotline là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký kết hiệu A-1.

Bạn đang xem: Ma trận nghịch đảo là gì

Nlỗi vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch hòn đảo là duy nhất, do giả sử lâu dài ma trận C vuông cung cấp n cũng chính là ma trận nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, tức thị A lại là ma trận nghịch hòn đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện thời, có tương đối nhiều giáo trình nước ngoài vẫn đề cập tới định nghĩa khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Thật vậy, mang lại A là ma trận cấp cho m x n trên ngôi trường số K. Khi kia, ta bảo A là khả nghịch trái nếu tồn tại ma trận L cấp cho n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải ví như sống thọ ma trận R cấp cho n x m sao cho: A.R = Im. Và lúc đó, tất nhiên A khả nghịch giả dụ A khả nghịch trái cùng khả nghịch nên.

4. Ma trận đơn vị chức năng là khả nghịch, Ma trận ko không khả nghịch.

5. Tập hợp những ma trận vuông cấp cho n bên trên K khả nghịch, được ký kết hiệu là GLn(K).

1.4 Các ví dụ:

Xét những ma trận vuông thực, cấp cho 2 sau đây:

*

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch cùng A là nghịch hòn đảo của B; B là nghịch hòn đảo của A

Ma trận C ko khả nghịch do với mọi ma trận vuông cấp 2 ta đều có:

*
Nhận xét: Ma trận gồm tối thiểu 1 dòng ko (hoặc cột không) hầu như ko khả nghịch.

Xem thêm: Usb Lỗi The Disk Is Write Protected, Lỗi The Disk Is Write Protected Là Gì

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch với (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch với (AT)-1= (A-1)T

(Quý Khách hãy thừ chứng tỏ hiệu quả bên trên nhé)

3. Mối quan hệ nam nữ giữa ma trận khả nghịch cùng ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp cho n trên K (n ≥ 2) được call là ma trận sơ cấp cho dòng (cột) nếu E chiếm được từ bỏ ma trận đơn vị In bời đúng 1 phnghiền thay đổi sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cấp cho dòng tuyệt cột hotline chung là ma trận sơ cấp.

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp cho chiếc (hay cột) số đông khả nghịch và nghịch hòn đảo của nó lại là 1 ma trận sơ cung cấp dòng.

Ta rất có thể đánh giá thẳng tác dụng bên trên bằng thực nghiệm:

Ma trận sơ cấp dạng 1: nhân 1 dòng của ma trận đơn vị chức năng cùng với α ≠ 0


*

Ma trận sơ cấp cho dạng 1


*

Ma trận sơ cấp cho dạng 2


*

Ma trận sơ cung cấp dạng 3


3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cấp cho n trên K (n ≥ 2). Lúc kia, những khẳng định sau đó là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận ra từ bỏ A do một vài hữu hạn những phép đổi khác sơ cung cấp mẫu (cột)

3. A là tích của một vài hữu hạn các ma trận sơ cấp

(Bạn gọi hoàn toàn có thể xem chứng tỏ định lý này vào ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cấp cho n bên trên K (n ≥ 2). lúc kia, các xác minh sau đó là tương đương:

1. A khả nghịch lúc và chỉ còn Khi dạng chủ yếu tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì In nhận thấy từ bỏ A bởi một số hữu hạn các phép biến hóa sơ cấp cho dòng (cột); đôi khi, chính dãy các phxay biến đổi sơ cung cấp chiếc (cột) này sẽ vươn lên là In thành nghịch đảo của ma trận A.

4. Thuật toán Gausβ – Jordan tìm kiếm ma trận nghịch đảo bằng phnghiền đổi khác sơ cấp:

Ta thực hiện thuật toán thù Gausβ – Jordan nhằm tra cứu nghịch hòn đảo (ví như có)của ma trận A vuông cấp cho n bên trên K. Thuật tân oán này được desgin nhờ vào hiệu quả thứ hai của hệ trái 3.4. Ta thực hiện các bước sau đây

Cách 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng phương pháp ghnghiền thêm ma trận đơn vị cung cấp n I vào mặt phải ma trận A


*

Lập ma trận bỏ ra khối hận cấp n x 2n


Cách 2: Dùng các phnghiền chuyển đổi sơ cấp dòng để đưa < A|I > về dạng < A’ | B >, trong số đó A’ là một trong những ma trận lan can chủ yếu tắc.

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch và A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A không khả nghịch. Nghĩa là, trong quy trình đổi khác giả dụ A’ xuất hiện thêm ít nhất 1 mẫu ko thì mau lẹ tóm lại A không khả nghịch (không cần phải chuyển A’ về dạng chủ yếu tắc) và kết thúc thuật toán thù.

ví dụ như minh họa: Sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm kiếm ma trận nghịch hòn đảo của: