Ta thấy sống hai ví dụ bên trên đều phải có Bạn đang xem: Tìm nguyên hàm
Ký hiệu:
VD:
b) Tính chất
•
•
•
•
2. Bảng nguyên ổn hàm của một số hàm số hay gặp
3. Các phương pháp
Phương pháp 1. Áp dụng công thức ngulặng hàm cơ bản
lấy ví dụ 1. Tìm những nguim hàm:
• x$I=intx^8dx=frac19x^9+C$
.• $I=intfracdxx^5=intx^-5dx=frac1-5+1x^-5+1+C=-frac14x^-4+C$
•$I=intfracdx2x=frac12int x ight$
• $I=int ung 2xdx=intfracsin 2xcos 2xdx=-frac12intfracdleft( cos 2x ight)cos 2x=-frac12ln left$
• $I=intsin x.cos ^4xdx=-intcos ^4xdleft( cos x ight)=-frac15cos ^5x+C$
• $I=intfracsin x+cos xsin x-cos xdx=intfracdleft( sin x-cos x ight)sin x-cos x=ln left| sin x-cos x ight|+C$
• $I=intfrace^xdxe^x+1=intfracdleft( e^x+1 ight)e^x+1=ln left| e^x+1 ight|+C$
Phương pháp 2. Phương pháp đổi biến
a) Các dạng thay đổi vươn lên là số thường gặp
b) Ví dụ
• $I=intsqrtx^2004+1.x^2003dx$
Đặt $t=x^2004+1Rightarrow dt=2004x^2003dxRightarrow x^2003dx=frac12004dt$. Từ kia ta được:
$I=frac12004intsqrttdt=frac12004intt^frac12dt=frac12004.frac23t^frac32+C$
$=frac13006sqrtt^3+C=frac13006sqrtleft( x^2004+1 ight)^3+C$
• $I=intx^2left( 1-x ight)^10dx$
Đặt $1-x=tRightarrow dx=-dt$. Từ đó ta được:
$O=intleft( 1-t ight)^2t^10left( -dt ight)=-intleft( 1-2t+t^2 ight).t^10dt=-intt^10dt+2intt^11dt-intt^12dt$
$,,,,,=-frac111t^11+frac16t^12-frac113t^13+C=-frac111left( 1-x ight)^11+frac16left( 1-x ight)^12-frac113left( 1-x ight)^13+C$
• $I=intfracsin x.cos ^3x1+cos ^2xdx=frac12intfrac2sin xcos x.cos ^2x1+cos ^2xdx=frac12intfraccos ^2x1+cos ^2x.sin 2xdx$
Đặt $1+cos ^2x=tRightarrow sin 2xdx=-dt$
$Rightarrow S=frac12fract-1tleft( -dt ight)=-frac12int t ight$
Phương thơm pháp 3. Phương pháp ngulặng hàm từng phần
a) Nội dung phương thơm pháp
Phương pháp này thường xuyên được sử dụng Lúc ta bắt buộc tính nguim hàm của một tích. Giả sử cần tính $I=intf_1left( x ight).f_2left( x ight)dx$, ta làm cho nlỗi sau:
b) Chụ ý
Thứ từ bỏ ưu tiên đặt $u$ vào cách thức Nguyên ổn hàm từng phần:
Lôgarít $ o $ Đa thức $lớn $ Hàm lượng giác $lớn $ Hàm mũ
c) Ví dụ
•$I=intx extsin2xdx$
$Rightarrow I=-frac12xcos 2x+frac12intcos 2xdx=-frac12xcos 2x+frac14sin 2x+C$
•$I=intxcos ^22xdx=intx.frac1+cos 4x2dx=frac12intxdx+intfrac12xcos 4xdx=frac14x^2+I_1$
Tính $I_1=intfrac12xcos 4xdx$.
$Rightarrow I_1=frac18xsin 4x-frac18intsin 4xdx=frac18xsin 4x+frac132cos 4x+C$
Từ đó: $I=frac14x^2+frac18xsin 4x+frac132cos 4x+C$
•$I=intfracxln left( x+sqrtx^2+1 ight)sqrtx^2+1dx$
Ta được $I=sqrtx^2+1ln left( x+sqrtx^2+1 ight)-x+C$
•$I=intln ^2left( x+sqrtx^2+1 ight)dx$
$=xln ^2left( x+sqrtx^2+1 ight)-2sqrtx^2+1.ln left( x+sqrtx^2+1 ight)+2x+C$
•$I=intleft( fracln xx ight)^2dx$. Ta gồm $I=intfracln ^2xx^2dx$.
Ta được $I=-frac1xln x-frac1x+C$
Phương pháp 4. Pân hận đúng theo đổi biến hóa số cùng phương pháp nguim hàm từng phần
•$I=intsin sqrtxdx$
Đặt $sqrtx=tRightarrow x=t^2Rightarrow dx=2tdtRightarrow I=intsin t.left( 2tdt ight)=int2tsin tdt$
Vậy $I=2sin sqrtx-2sqrtxcos sqrtx+C$
•$I=intsin left( ln x ight)dx$.
Từ kia $I=inte^tsin tdt=fracxleft< sin left( ln x ight)-cos left( ln x ight) ight>2+C$
•$I=intx^8e^x^3dx$.
Từ kia $I=frac13intt^2e^tdt=frac13left( x^6-2x^3+2 ight)e^x^3+C$
•$I=inte^sqrtxdx$.
Phương thơm pháp 5. Tìm nguyên hàm bởi phương thức sử dụng nguyên hàm phụ
Giả sử đề nghị tính $I=intfleft( x ight)dx$. khi đó ta tìm ngulặng hàm phú $J=intgleft( x ight)dx$ làm sao để cho việc tính $I+J$ cùng $I-J$ đơn giản và dễ dàng rộng. Chẳng hạn:
• $I=intfracsin xsin x+cos xdx$
Ta có thể xét $J=intfraccos xsin x+cos xdx$
khi đó:
$I+J=intfracsin x+cos xsin x+cos xdx=intdx=x+C$
$I-J=intfracsin x-cos xsin x+cos xdx=-intfracdleft( sin x+cos x ight)sin x+cos x=-ln left| sin x+cos x ight|+C$
Từ kia suy ra: $2I=x-ln left| sin x+cos x ight|+CRightarrow I=frac12left( x-ln left| sin x+cos x ight| ight)+C$
• $I=intfrac4sin xleft( sin x+cos x ight)^3dx$
Ta hoàn toàn có thể xét $J=intfrac4cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx$
khi đó:
$I+J=4intfracsin x+cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx=4intfracdxleft( sin x+cos x ight)^2=4intfracdxleft< sqrt2sin left( x+fracpi 4 ight) ight>^2$
$=2intfracdleft( x+fracpi 4 ight)sin ^2left( x+fracpi 4 ight)=-2cot left( x+fracpi 4 ight)+C$
$I-J=4intfracsin x-cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx=-4intfracdleft( sin x+cos x ight)left( sin x+cos x ight)^3=2left( sin x+cos x ight)^-2+C$
Từ kia suy ra:
$2I=-2cot left( x+fracpi 4 ight)+2left( sin x+cos x ight)^-2+CRightarrow I=frac1left( sin x+cos x ight)^2-cot left( x+fracpi 4 ight)+C$
B. bài tập từ bỏ luyện
Câu 1: Tìm $int(x^3-2x)dx$
A. <3x^2-2+C> B.
C.
Câu 2: Tìm $int(sin x+cos 3x),dx$
A.
C. <-cos x-frac13sin 3x+C> D. <-cos x+frac13sin 3x+C>
Câu 3: Tìm $intleft( 5e^3x-frac16x+7 ight),dx$
A.
C. Xem thêm: " Captured Là Gì ? Nghĩa Của Từ Capture
Câu 4: Tìm $intsqrtxdx$
A.
C. $frac32xsqrtx+C$ D.
Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=sin ^2x$
A. $intf(x)dx=frac12x+frac14sin ,2x+C$ B.
C.
Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=cos x.cos 3x$
A. $intf(x)dx=-frac18sin ,4x-frac14sin ,2x+C$ B.
C.
Câu 7: Cho
A.
C.
Câu 8: Tìm $int(x+1)e^x^2+2xdx$
A. <2(x+1)e^x^2+2x+C> B.
C.
Câu 9: Khẳng định làm sao sau đây sai ?
A.
C.
Câu 10: Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
C.
Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số $y=f(x)=frac3cos ^2(2x-1)$
A.
C. <-3 an (2x-1)+C> D. <-frac32cot (2x-1)+C>
Câu 12: $int2e^xleft( e^x-1 ight)^4dx=fracmn(e^x-1)^k+C$. Lúc đó
A. m + n + k = 5 B. m + n + k = 7
C. m + n + k =12 D. m + n + k = 16
Câu 13: $intxsin 2xdx=fracm2xcos 2x+fracsin 2xn+C$. Khi đó
A. 2m + n = 0 B. 2m + n = 2 C. 2m + n =6 D. 2m + n = 8
Câu 14: $intleft( x+3 ight)e^-2xdx=frac-1me^-2x(2x+n)+C$. khi đó